Гармоническая четвёрка

A, B, C, D — гармоническая четвёрка точек.

Гармоническая четвёрка точек — чётверка точек на проективной прямой, двойное отношение которых $(ABCD)=-1$. В этом случае говорят также, что точки $C$ и $D$ гармонически сопряжены относительно $A,B$ и пишут $H(AB,CD)$.

Гармонической четвёркой прямых называется четвёрка прямых $a,b,c,d$ в проективной плоскости, проходящих через одну точку $S$, для которых любая четвёрка точек $A,B,C,D$, такая, что $A\in a,B\in b,C\in c,D\in d$, находящаяся на одной прямой, является гармонической. В этом случае пишут $H(ab,cd)$.

Свойства

• Если гармоническая четвёрка прямых пересечена прямой, то на этой прямой образуется гармоническая четвёрка точек.
• На каждой стороне полного четырёхвершинника имеется гармоническая четвёрка точек.^{[уточнить]}
• На каждой диагонали полного четырёхвершинника имеется гармоническая четвёрка точек.^{[уточнить]}
• Гармоническая четвёрка точек на комплексной плоскости лежит на одной прямой или окружности, и пары касательных в противоположных точках конкурентны диагонали.

Построение

• Для любых трёх точек, лежащих на одной прямой, пользуясь гармоническими свойствами полного четырёхвершинника, можно построить четвёртую точку так, что получится гармоническая четвёрка точек.
• На рисунке выше точки пересечения двух пар противоположных сторон ML и KN, MK и LN полного четырёхугольника MLNK (соответственно первые две точки A и B прямой), а также точки D и C пересечения соответственно диагоналей LK и MN с этой прямой (прямая AC), проходящей через эти точки, образуют гармоническую четвёрку точек A, B, C, D.
• Построения последнего пункта (см. также рисунок) полностью дублирует следующая теорема: Для точки K прямая Чевы (например LD) треугольника ALB и прямая MN, соединяющая основания M и N двух других прямых Чевы AN и BM, делят противоположную сторону AB гармонически.

Пример гармонической четвёрки точек

• Биссектрисы внутреннего и внешнего углов при одной вершине треугольника пересекают противоположную этой вершине сторону и соответственно её продолжение в двух точках, которые вместе с двумя концами этой стороны образуют гармоническую четвёрку точек.
• Точка, гармонически сопряженная середине стороны треугольника, находится на продолжении этой стороны на бесконечности.

Гармоническая четвёрка на расширенной евклидовой плоскости

• Если точка $D_{\infty }$ несобственная, то четвёрка $A,B,C,D_{\infty }$ гармоническая, если $C$ — середина отрезка $AB$.
• Если $ABCD$ — полный четырёхвершинник и его диагональные точки $P_{\infty },Q_{\infty }$ — несобственные, то на расширенной евклидовой плоскости $ABCD$ — параллелограмм, а из его гармонических свойств следует, что точка пересечения его диагоналей делит их пополам.
• Если $ABCD$ — полный четырёхвершинник, у которого одна диагональная точка $R_{\infty }=BC\cap AD$ — несобственная, $P=AB\cap CD,Q=AC\cap BD$, то на расширенной евклидовой плоскости $ABCD$ — трапеция, а из его гармонических свойств следует, что $PQ$ делит $AD$ пополам.

Литература

• Базылев, Дуничев, Иваницкая. Геометрия, часть 2. — М.: Просвещение, 1975.

• Ефимов Н. В. Высшая геометрия. — 6-е изд.. — М., 1978.

• Певзнер С.Л. Проективная геометрия. — М.: Просвещение, 1980.

• Постников М. М. Аналитическая геометрия. — 1973.

• Х. С. М. Кокстер. Действительная проективная плоскость / под ред. проф. А. А. Глаголева. — М., 1959.